ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат научно-технической разработки

Построения расчетных соотношений произведены на основе статистического критерия устойчивости. Согласно этому критерию, механическая система, находящаяся в равновесии под действием статистической нагрузки, считается теряющей устойчивость тогда и только тогда, когда статистическая нагрузка вызывает возникновение других возможных положений равновесия, сколь угодно близких к данному по значениям обобщенных перемещений.

Пусть система уравнений

вектор функции кинематических и силовых неизвестных, описывает исходное состояние равновесия конструкции, а система

приращение вектора неизвестных соответствует какому -либо другому сколь угодно близкому, по значениям перемещений, положению равновесия этой же конструкции. Разница уравнений равновесия отнесенная к вектору приращений координат в пределе равна первой производной от вектора уравнений равновесия по вектору координат

Перепишем последнее соотношение в виде

Т.об. можно записать соотношение:

Данное соотношение соответствует состоянию безразличного равновесия механической системы. Нетривиальное решение линейной, в данной точке

системы уравнений реализуем путем приравнивания нулю детерминанта матрицы

Именно это уравнение и является условием определения критической нагрузки на сооружение. При решении линейных задач это условие позволяет непосредственно определить критическую нагрузку. Для нелинейных задач необходимо произвести сопоставление продольных усилий, вычисленных для данного деформированного состояния (для конкретной точки

действующими продольными усилиями. Если «критические» продольные силы превышают действующие - система устойчива. В противном случае система потеряла устойчивость. В случае если норма отклонений усилий не будет нарушена - система близка к критическому состоянию. Т.Е. для нелинейных задач условие определения критической нагрузки позволяет произвести оценку устойчивости данного равновесного состояния. Совместное решение уравнений равновесия конструкции и условия определения критической нагрузки эквивалентно использованию, при определении параметра нагрузки, соотношения

dp / du = 0,

Гдеp- параметр нагрузки,u- обобщенное перемещение.

Справедливость указанного подхода легко проверяется. В качестве тестового примера исследуем устойчивость жесткого стержня (рис. 1а), один конец которого закреплен, а на другом конце имеется пружина с нелинейной характеристикой

f_уп= Сl ₀(dl/l+(dl/l)²),сохраняющая при отклонении стержня горизонтальное положение. Здесьl ₀ -коэффициент, имеющий размерность длины,f_уп- нелинейно - зависящая от перемещения сила упругости. В исходном ненагруженном состоянии ось стержня строго вертикальна. Уравнение равновесия стержня в отклоненном положении

pl sinj- cl ₀l ²[(1/l ₀)sinj+(l/l ₀²)sin ²j]cosj=0,

Гдеl -длина стержня. На рис. 1б по этому уравнению построена кривая равновесных состоянийp(j) при с =1;l₀=1;l=1 с двумя характерными точками (Р=1,0;j=0) и (Р=1,3;j=0,52). Первая из этих точек соответствует точке бифуркации, в которой вертикальное положение стержня становится неустойчивым, а вторая - достижению максимального уровня нагружения, который и определяет критическое состояние этой системы. Кривая равновесных состояний стержня на участкеj=0ё1 подобна кривой равновесных состояний сжато - изогнутого упруго- пластического стержня.

Уравнения равновесия стержня для этой задачи будет иметь вид

f^,(и) = Р cosj- cl ₀l{(0.5l/l ²₀)cos(j) sin(2j)+[(1/l ₀+(l/l ²₀)sin(j)]cos(2j)}=0.

Из этого уравнения определялись значения критических нагрузок Р _кр. Соответствующая кривая построена на рис. 1б. Пересечение кривой равновесных состояний с кривой критических нагрузок происходит именно в двух рассмотренных характерных точках. Это говорит о том, что критерии условия определения критической нагрузки подходит и для бифуркационных и для сжато - изогнутых упруго - пластических физических моделей. На участке кривой зависимости Р _кр отjс абсциссой 0-0,52 величина Р _кр>Р _действ и система устойчива. Приj>0,52 Р _кр<р>_действ и система неустойчива (здесь рассматриваются решения при 0ЈjЈp/2). Где Р _действ- реально действующая нагрузка.