ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат выполнения НИР.

При изучении плоского сечения рельефа математической моделью реального сечения может служить множество точек плоскости. Если же местность изучается в трёх направлениях, то её моделью будет множество точек, расположенном в трёхмерном пространстве.

В принципе любой топографический объект может быть представлен как непрерывное множество. Однако на практике при изучении того или иного топографического плана мы имеем всегда конечное число измерений. Это обстоятельство позволяет нам ограничиться дискретным множеством, содержащим конечное число элементов.

Таким образом, как математическую модель топографического объекта исследования, без учета каких-либо его свойств, рассмотрим дискретное множество Т точекt. Фиксированное Т назовем пространством.

Пусть пространство Т содержитnточекt. Обозначим через А произвольное множество, образованное элементами пространства Т. Множество А соответствует любому произвольно очерченному участку изучаемого топографического объекта.

Если изучать рельеф на одном и том же малом участке, то в большинстве случаев наблюдаемые значения будут случайным образом изменяться. Это значит, что заранее нельзя точно предсказать, какое значение примет данное наблюдение в результате единичного измерения. Это обстоятельство в качестве математической модели характеристики рельефа, измеряемой на малом участке, позволяет рассматривать случайную величинуx_t, соответствующую точкеtпространства Т.

Таким образом, рассматривая каждую характеристику как одномерную случайную величину, будем заменять комплекс наблюдений многомерной случайной величиной. Следовательно, если при изучении топографического объекта в каждой точке наблюдений даетсяmхарактеристик, то можно каждому элементуtпространства Т поставить в соответствиеm-мерную случайную величинуx_t.

В результате в качестве математической модели топографического объекта (x_t) мы будем рассматривать дискретное множество Т точекt, на котором заданаm-мерная случайная функцияx_t.

Теория случайных функций в настоящее время достаточно глубоко разработана и широко применяется в различных областях науки и техники.

Исходя из приведенного, легко заметить, что каждому множеству АМТсоответствует набор случайных величин{x_t,tОa}=x_a. Каждому классу А множеств А элементов пространства Т соответствует класс случайных величин{x,aМa}=x_a.

Если теперь обозначить функцию распределения случайной величиныx_tчерезf _t(x), а соответствующую ей плотность вероятности черезf _t(x),то каждому элементу нашей модели можно поставить в соответствие функциюf _t(x),которая и дает однозначную характеристику этого объекта.

Чтобы использовать общую модель топографического объекта для решения практических задач, необходимо выбрать функциюf _t(x)случайной величиныx_tтак, чтобы, она соответствовала каждой точкеtОt. Эта случайная величина может рассматриваться какm-мерный случайный вектор-строка

{xt ₁xt ₂ , ……,xt _m}.

Положив, что изучаемый объект обладает нормальным распределением, которое наиболее простое и очень хорошо изучено, мы сможем довольно легко строить статистические критерии для проверки различных гипотез.

Таким образом, математической моделью топографического объекта, охарактеризованногоm-признаками, будет фиксированное множество m-мерных случайных величинx_t, которые распределены нормально с плотностямиf(x,q_t,s_t), гдеq_t={qt₁,qt₂, ……,qt _n}- вектор-строка, образованный математическими ожиданиями случайных величинx_ti;s_t- ковариационная матрица, т.е.

1

f(x,q_t,s_tp)=^{__________________}exp[- Ѕ{x-q_t}s{x-q_t}ў].

(2p)^mзs_tк

Следует заметить , что для построения математических моделей однородных топографических совокупностей могут быть использованы и другие законы распределения. Однако в большинстве случаев случайные величины, распределения которых отличны от нормального, можно преобразовать так, чтобы преобразованные величины были распределены нормально.