ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат выполнения НИР.

Расчет сводится к определению давления и закона его распределения по длине прямолинейного участка теребильного ручья с учетом натяжения теребильных ремней их жесткости, усилия поджатия прижимных роликов и жесткости стеблей льна, находящихся между ремнями.

Расчетная схема выбирается при следующих допущениях: жесткость стеблей льна при поперечном сжатии по длине теребильного ручья является величиной постоянной; теребильные ремни натянуты с одинаковыми усилиями, то естьs ₁=s ₂=s.

Ввиду принятых допущений картина деформации будет симметричной и может быть представлена следующим образом (рисунок 1).

1-положение нейтральной оси ремня до деформации;

2-нейтральная ось ремня в деформированном состоянии;

3-стебли льна, рассматриваемые как упругодеформируемые тела.

Рисунок 1 - Схема деформации ремня.

Из схемы, представленной на рисунке 1, следует, что каждый ремень можно рассматривать как бы лежащим на простом упругом основании. Задача нахождения величины и закона распределения давления со стороны верхнего ремня на стебли льна сводится к определению величины и закона изменения его прогибаy(x) на этом участке. Зная зависимость y(x) и на основании гипотезы Фусса-Винклера можно записать:

g(x)=ky(x), (1)

где g(x) - реакция упругого основания, Н/мм;

k -коэффициент упругого основания, Н/мм ².

Зная величинуg(x), можно определить распределенную нагрузкуp(x), с которой ремень действует на упругое основание. Очевидно, что она будет равна по абсолютной величине реакции упругого основания и направлена в противоположную сторону.

р(x)= -g(x)=ky(x). (2)

Функцияy(x) нам неизвестна. Для ее определения рассмотрим верхний ремень с действующими на него нагрузками (рисунок 2).

Рисунок 2 - Расчетная схема верхнего ремня.

На схеме обозначены следующие величины: натяжение ремня (s); усилие поджатия прижимного ролика (p _p); жесткость поперечного сечения ремня при изгибе (ej); коэффициент жесткости упругого основания (k), зависящий от физико-механических свойств льна. Очевидно, что ремень будет находится в условиях продольно-поперечного изгиба. Для нахожденияy(x) воспользуемся дифференциальным уравнением упругой линии стержня, лежащего на упругом основании. С учетом выше изложенных факторов, действующих на ремень, это уравнение будет иметь следующий вид:

d ⁴y / dx ⁴ - s / ejЧd ²y / dx ² + ky(x) / ej = 0. (3)

Обозначим p ₂ = s / ej ; p ₄ = k / ej, тогда уравнение (3) можно записать:

d ⁴y / dx ⁴ - p ₂Чd ²y / dx ² + p ₄y(x) = 0. (4)

Уравнение (4) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

Находя корни его характеристического уравнения можно отметить следующее: они могут быть:

а) вещественными т. е.p ²₂ / 4>p ₄ или s ² / 4ej>k, тогда общее решение уравнения (4) примет вид:

y(x) = c _1e^ax + c _2e^-ax + c _3e^bx+ c _4e^-bx(5)

б) комплексными т. е. p ²₂ / 4

₄ или s ² / 4ej

y(x) = c _1e^ax cosbx + c _2e^-ax cosbx + c _3e^ax sinbx + c _4e^-ax sinbx;(6)

в) вещественными кратными т. е. p ²₂ / 4 = p ₄ s ² / 4ej = k, тогда общее решение уравнения (4) примет следующий вид:

y(x) = e ^ax (c ₁ + c _3x) + e ^-ax (c ₂ + c ₄x),(7)

где С ₁; С ₂; С ₃; С ₄ в уравнениях (5), (6), (7) - постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий, а,b- корни характеристического уравнения.

Таким образом, в общем виде данная задача имеет три расчетных случая. В каждом конкретном случае прежде чем приступить к решению необходимо проверить соотношение между натяжением ремней s и коэффициентом жесткости упругого основания k.

Значение прогиба ремня y(x), вычисленное по формуле (5), (6) или(7) с учетом соотношения s и k, после подстановки в уравнение (2), позволит определить распределенную нагрузку со стороны ремня на стебли льна и закон ее распределения в теребильном ручье с учетом натяжения ремней, их жесткости, жесткости стеблей льна, которые находятся между теребильными ремнями, усилия поджатия прижимных роликов. Разделив это значение на ширину ремня, мы получим величину искомого давления в рассматриваемом теребильном ручье.

Представляет интерес исследовать на основе полученных зависимостей закон распределения давления по длине теребильного ручья и сравнить его с законом, основанном на теории Эйлера. На рисунке 3 представлены графические зависимости g(x) при ширине ремня В _р=80 мм. Графики показывают, что при равных выбранных значениях s; ej; p _p зона действия давления в ручье с учетом коэффициента k (стебли льна принимались во внимание) значительно увеличилась при одновременном уменьшении значения давления.

а) зависимость с учетом коэффициента жесткости упругого основанияk;

в) зависимость, основанная на теории Эйлера.

Рисунок 3 - Зависимости давления в продольном прямолинейном теребильном ручье от величиныx при силе натяжения s=1000 Н.