ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат выполнения научно-исследовательской работы.

В целях дальнейшего широкого исследования динамических лопастных насосов на базе уравнений Лагранжа 2-го рода строится математическая модель насоса - система дифференциальных уравнений, позволяющая проводить моделирование гидравлических процессов в насосе в достаточно общей постановке.

При построении математической модели насоса рассматривается динамическая система, состоящая из ротора насоса, жидкой среды, движущейся в насосе, ротора приводного двигателя и приводного механизма. Принимаются следующие основные предположения: поток в проточном канале рабочего колеса одномерный и осредненный по поперечному сечению канала; жидкая среда представляет собой несжимаемую вязкую жидкость.

Вектор абсолютной скорости движения в проточном канале рабочего колеса элементарного объема жидкости массой dm представим как сумму двух векторов: переносной скорости , обусловленной вращением колеса с угловой скоростью w и угловым ускорением e, и относительной скорости , обусловленной движением элементарного объема относительно поверхности колеса.

Кинетическая энергия dt элементарного объема при этом определяется как сумма кинетических энергий переносного ( dt _u) и относительного ( dt _w ) движений:

где dm = rrs( l) dj;

r и j - параметры цилиндрической системы координат;

s( l) - площадь живого сечения элементарного объема, являющаяся функцией длины проточного канала l.

Кинетическая энергия жидкости по всей длине проточного канала

где границы интегрирования соответствуют входному (0) и выходному ( l) сечениям канала.

где q - объемный расход жидкости через поперечное сечение канала q = ws( l)

Тогда общая кинетическая энергия Т переносного и относительного движения системы имеет вид;

i _u- осевой момент инерции системы.

i _h- осевой момент инерции вращающихся масс насоса и привода.

Введем обобщенные координаты q₁ и q₂, совместно однозначно определяющие текущее положение элементарного объема жидкой среды относительно неподвижного наблюдателя:

q₁ = j( t) - угол поворота колеса насоса от начального положения;

- количество жидкой среды, прошедшей через поперечное сечение канала.

Уравнение Лагранжа 2-го рода, описывающее движение системы, имеет вид:

где g _i - обобщенные активные внешние силы;

f _i - обобщенные реакции наложенных связей.

Используя (5) и (6), получим систему дифференциальных уравнений

где (7) - уравнение вращения подвижных элементов системы;

(8) - уравнение относительного движения жидкой среды в канале, представляющее собой уравнение Бернулли для относительного движения.

В качестве обобщенных сил в уравнении (8) рассматриваются силы, действующие на жидкую среду в колесе насоса.

g₂₁ - реактивная сила, обусловленная движением отбрасываемых и присоединяемых в единицу времени масс во входном и выходном сечениях (2, 3):

где s₁ и s₂ - площади входного и выходного сечений;

g₂₂ - проекция на касательную к оси канала равнодействующей силы гидродинамического давления, действующей на ограничивающие элементарный объем сечения:

где p - гидродинамическое давление на поверхностях площадью s( l), ограничивающих элементарный объем;

g₂₃ - проекция на касательную к оси канала силы веса жидкости:

где z₁ и z₂ - ординаты центра масс входного и выходного сечений;

f₂₄, f₂₅ - силы трения среды об ограничивающие ее поверхности канала:

f₂₄ - на подвижных поверхностях,

f₂₅ - на неподвижных поверхностях;

где П ₁ - периметр подвижной поверхности;

К - коэффициент трения, зависящий от температуры и скорости.

где П ₂ - периметр неподвижной поверхности.

В уравнении (7) обобщенные g₁ и f₁ соответствуют интегральным моментам указанных сил относительно оси вращения. Уравнения (7) и (8) полностью описывают переходные процессы движения системы с учетом сделанных предположений.

На базе полученных уравнений могут исследоваться различные переходные процессы от включения насоса до наступления стационарных состояний течения жидкости, влияние параметров насоса на гидродинамические параметры движущейся среды, а также решаться задачи оптимизации геометрических параметров насоса при различных режимах работы насоса и реологических свойствах перекачиваемых сред.