ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат выполнения научно-исследовательской работы.

Реальные тонкостенные пространственные пластинчатые конструкции имеют в общем случае очень сложную структуру. В качестве наиболее подходящего численного метода расчета в таких случаях рекомендуется метод конечных элементов. Для коробчатых систем применение МКЭ затруднено необходимостью решения больших систем уравнений. Применение метода суперэлементов (МСЭ) позволяет существенно снизить порядок разрешающей системы уравнений. С другой стороны, традиционная форма метода суперэлементов имеет ряд существенных недостатков. Повышение эффективности расчета по МСЭ возможно при использовании суперэлементов, построенных при условии энергетической эквивалентности исходной и редуцированной расчетных схем. Сохранение потенциальной энергии деформации СЭ при редуцировании дает возможность исключать узлы на границах суперэлемента, что приводит к существенному снижению числа расчетных узлов. Такой подход рассматривается в методе конечных и в методе расчетных точек.

При расчете коробчатых систем с использованием суперэлементной методики каждая из граней рассматривается как отдельный суперэлемент или их комбинация. Для того, чтобы исключить разрывность перемещений промежуточных контурных узлов стыкующихся суперэлементов рассчитываемый суперэлемент заключается в жестко-упругий контур, состоящий из «специальных» контурных элементов, которые ставятся между промежуточными контурными узлами формируемого суперэлемента. При формировании прямоугольного суперэлемента со связями в угловых узлах рассматривались элементы плоской задачи теории упругости с двумя неизвестными в узле (два линейных смещения). Полная матрица жесткости суперэлемента формируется в соответствии со стандартной процедурой метода конечных элементов путем суммирования по узлам соответствующих коэффициентов жесткости контурных элементов и элементов структуры внутри контура. Далее, используя стандартную процедуру статической конденсации, перейдем к матрице жесткости суперэлемента со связями только в угловых узлах. При формировании суперэлемента со связями только в угловых узлах матрица единичных смещений уже не будет единичной, как при податливом ребре, а примет вид:

(1)

Здесь вектор-строка содержит не только соответствующее единичное смещение i-го углового узла, но и соответствующие смещения внутренних контурных узлов двух смежных ребер, примыкающих к i-му угловому узлу. Порядок равен числу степеней свободы в узле умноженному на общее число узлов. Таким образом, матрица единичных смещений расчетных узлов принимает квазидиагональный вид. Матрица, определенная при описанном характере единичных смещений, не является матрицей жесткости суперэлемента, а является матрицей усилий, действующих на ребра. Для построения квадратной матрицы жесткости угловых узлов эти усилия необходимо привести к углам суперэлемента как величины реакций от этих сил. Таким образом, матрица жесткости определится:

(2)

- матрица приведения единичных реакций в контурных точках в групповые реакции граней суперэлемента; - диагональная корректирующая матрица. Матрица позволяет привести полученные при описанном характере единичных смещений коэффициенты жесткости к их действительным значениям на основе энергетической эквивалентности исходной и преобразованной систем. Ее коэффициенты зависят только от количества и расположения промежуточных контурных узлов на смежных смещаемому узлу ребрах.

Далее по (2) определяются матрица жесткости суперэлемента с жестко-упругим контуром и матрица жесткости пустого контура при таком же характере единичных смещений. Искомая матрица жесткости суперэлемента определится как разность этих матриц жесткости. При расчете мембранной коробчатой системы, стенки которой воспринимают усилия только в своей плоскости, вектор узловых перемещений имеет вид

(3)

Так как перемещение из плоскости мембранного конечного элемента не влияет на напряженно-деформированное состояние в его плоскости, то в матрице жесткости элемента появляются нулевая строка и столбец, соответствующие этому перемещению. В общей матрице жесткости эти строчки и столбцы должны быть исключены. Матрица преобразования матрицы жесткости конечного элемента из локальной системы координат в глобальную является квазидиагональной, и ее диагональные элементы представляют собой матрицу направляющих косинусов локальной системы координат. Далее расчет сооружения осуществляется по стандартной процедуре МКЭ:

,

где , , - матрица жесткости всей системы, вектор узловых перемещений и вектор узловых нагрузок соответственно. Здесь матрица жесткости всего сооружения определяется суммированием соответствующих коэффициентов жесткости сформированных суперэлементов.

Произведено сравнение результатов расчета тонкостенной консольной коробки. Коробка, жестко заделанная с торца, несимметрично нагружена тремя вертикальными сосредоточенными силами, приложенными на ребре. Расчет проводился с учетом только линейных смещений (мембранная коробка). Разница в значениях перемещений узлов торцевого сечения не превышает 6-7%, при этом число неизвестных по сравнению с подробной схемой метода конечных элементов снижено со 196 до 24.