ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат выполнения научно-исследовательской работы.

Применение метода суперэлементов (МСЭ) при расчете зданий и сооружений позволяет рассматривать сложную конструкцию по частям с последующим их объединением, что приводит к значительному снижению порядка системы разрешающих уравнений. С другой стороны, традиционная форма метода суперэлементов имеет ряд существенных недостатков. Повышение эффективности расчета по МСЭ возможно при использовании суперэлементов, построенных при условии энергетической эквивалентности исходной и редуцированной расчетных схем. Сохранение потенциальной энергии деформации СЭ при редуцировании дает возможность исключать узлы на границах суперэлемента, что приводит к существенному снижению числа расчетных узлов. Такой подход рассматривается в методе конечных и в методе расчетных точек.

В представленной работе рассчитываемый суперэлемент заключается в жестко-упругий контур, состоящий из «специальных» контурных элементов, которые ставятся между промежуточными контурными узлами формируемого суперэлемента. При формировании суперэлемента рассматривались элементы плоской задачи теории упругости с двумя неизвестными в узле (два линейных смещения). Полная матрица жесткости суперэлемента формируется в соответствии со стандартной процедурой метода конечных элементов. Она может быть получена путем суммирования по узлам соответствующих коэффициентов жесткости контурных элементов и элементов структуры внутри контура. Далее, используя стандартную процедуру статической конденсации, перейдем к матрице жесткости суперэлемента со связями только в угловых узлах:

(1)

r _pp - матрица коэффициентов жесткости контурных или расчетных точек; r _nn- матрица коэффициентов жесткости «внутренних» точек; r _pn, r _np- матрицы влияния. При формировании суперэлемента со связями только в угловых узлах матрица единичных смещений уже не будет единичной, как при податливом ребре, а примет следующий вид:

(2)

Здесь вектор-строка содержит не только соответствующее единичное смещение i-го углового узла, но и соответствующие смещения внутренних контурных узлов двух смежных ребер, примыкающих к i-му угловому узлу. Порядок равен числу степеней свободы в узле, умноженному на общее число узлов. Таким образом, матрица единичных смещений расчетных узлов принимает квазидиагональный вид. Матрица, определенная при описанном характере единичных смещений, не является матрицей жесткости суперэлемента, а является матрицей усилий, действующих на ребра. Для построения квадратной матрицы жесткости угловых узлов эти усилия необходимо привести к углам суперэлемента как величины реакций от этих сил. Таким образом, матрица жесткости определиться:

(3)

- матрица приведения единичных реакций в контурных точках в групповые реакции граней суперэлемента; - диагональная корректирующая матрица. Ее элементами являются коэффициенты, определяемые в соответствие с выражением

(4)

Здесь - суммы значений перемещений промежуточных узлов, расположенных на смежных относительно смещаемого узла ребрах, горизонтальном и вертикальном, соответственно. Матрица y позволяет привести полученные при описанном характере единичных смещений коэффициенты жесткости к их действительным значениям на основе энергетической эквивалентности исходной и преобразованной систем. Ее коэффициенты зависят только от количества и расположения промежуточных контурных узлов на смежных смещаемому узлу ребрах. Далее по (3) определяются матрица жесткости суперэлемента с жестко-упругим контуром и матрица жесткости пустого контура при таком же характере единичных смещений. Искомая матрица жесткости суперэлемента определится как разность этих матриц жесткости. Далее расчет сооружения осуществляется по стандартной процедуре МКЭ: [k]*{q}+{p}=0, (3)

где [k], {q}, {p} - матрица жесткости всей системы, вектор узловых перемещений и вектор узловых нагрузок соответственно. Здесь матрица жесткости всего сооружения определяется суммированием соответствующих коэффициентов жесткости сформированных суперэлементов.

Произведено сравнение результатов расчета защемленной по боковым краям изотропной стеновой панели с симметричным отверстием от действия силы тяжести. Разница в значениях перемещений узлов верхней кромки не превышает 6-7%, при этом число неизвестных снижено со 180 до 24.