ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат выполнения научно-исследовательской работы.

Применение метода конечных элементов к расчету сложных систем приводит к целому ряду трудностей, вызываемых необходимостью представления конструкций в расчетной схеме большим числом конечных элементов и обработки, вследствие этого большого объема вводимой и перерабатываемой информации. Одно из возможных решений сложившейся проблемы заключается в использовании «поэтапного» расчета суперэлементной методики. Снижение размерности системы уравнений исключением некоторых степеней свободы обеспечивается процедурой статической конденсации. К методам, использующим процедуру статической конденсации для понижения порядка матрицы жесткости суперэлемента, относятся такие, как метод контурных точек и метод расчетных точек.

Переход к расчетным точкам осуществляется по известной формуле статической конденсации суперэлементной методики:

(1)

r _pp - матрица коэффициентов жесткости контурных или расчетных точек; r _nn - матрица коэффициентов жесткости «внутренних» точек; r _pn, r _np - матрицы влияния. Описанное матричное равенство, определяющее матрицу жесткости расчетных точек, может быть применено для построения матрицы жесткости элемента, если наложены только угловые связи. В этом случае контурные точки, расположенные между угловыми узлами, рассматриваются также как «внутренние».

При расчете «поэтапным» методом возникает проблема прерывности перемещений на границах стыкующихся суперэлементов. При сборке системы, разбитой на суперэлементы на втором этапе расчета возникает разрыв перемещений промежуточных контурных узлов стыкующихся суперэлементов. Легко убедиться, что построенный таким способом суперэлемент со связями только в угловых узлах не отвечает условию совместимости (исходя из предположения, что между двумя узлами конечный элемент деформируется по прямой), т.к. его ребра деформируются не по линейному закону. В некоторых работах предлагается сообщить прямолинейность деформированной линии ребер, если считать, что они (ребра) жесткие и при смещении одной из связей остаются прямолинейными. Такая схема рамки не позволяет произвести реальное деформирование контура. В представляемой работе рассчитываемый суперэлемент заключается в жестко-упругий контур, состоящий из «специальных» контурных элементов, которые ставятся между всеми промежуточными контурными узлами формируемого суперэлемента. Размеры контурных элементов определяются соответствующими размерами конечных элементов, которыми описывается формируемый суперэлемент. Контурный элемент представляет собой стержень, имеющий с двух сторон абсолютно жесткие вставки, равные примерно половине длины стержня каждая. Между ними - упругая часть. За счет этой упругой части осуществляется передача разницы перемещений между соседними контурными узлами.

При этом рассматриваемая система деформируется требуемым образом и промежуточные контурные узлы системы получают необходимые значения вынужденных перемещений. Аппроксимация кривой деформирования ведется с помощью кусочно-линейных функций. В этом случае матрица единичных смещений уже не будет единичной, как при податливом ребре, а примет следующий вид:

(2)

Здесь вектор содержит не только соответствующее единичное смещение i-го углового узла, но и соответствующие смещения внутренних контурных узлов двух смежных ребер, примыкающих к i-му угловому узлу. Матрица, определенная при описанном выше характере единичных смещений, не является матрицей жесткости суперэлемента, а является матрицей усилий, действующих на ребра. Для построения квадратной матрицы жесткости угловых узлов эти усилия необходимо привести к углам суперэлемента как величины реакций от этих сил. Таким образом, матрица жесткости определится:

(3)

Х _р - матрица отображения единичных реакций в контурных точках в групповые реакции граней суперэлемента.

Основной вопрос, возникший при исследовании работы контурного элемента, заключался в подборе комбинации жесткостных характеристик его упругой части. Для их определения проведены расчеты с различными комбинациями значений жесткостных параметров упругой части для дискретных и континуальных систем. В результате исследований установлены границы жесткостных параметров упругой части, отнесенные к единичной длине упругой части и единичной длине элемента. Параметры жесткости зависят только от вида базовых конечных элементов, на которые разбивается суперэлемент (стержни или пластины), и не зависят от жесткости системы, находящейся в контуре. Каждый параметр жесткости для отдельного элемента жестко-упругого контура определится:

(4)

где - определяемый жесткостный параметр ( ej, ef, gf); - относительное значение жесткостного параметра; - длина упругой части рассматриваемого элемента жестко-упругого контура; - общая длина рассматриваемого элемента жестко-упругого контура.

Составление матрицы жесткости суперэлемента и жестко-упругого контура осуществляется стандартным образом через расчет на вынужденные единичные смещения. Далее по (2) определяются матрица жесткости суперэлемента с жестко-упругим контуром и матрица жесткости пустого контура при таком же характере единичных смещений. Искомая матрица жесткости суперэлемента определится как разность этих матриц жесткости.

В результате такого исследования работы суперэлемента, заключенного в жестко-упругий контур, появляется возможность с достаточной степенью точности описать его напряженно-деформированное состояние, при этом граничные условия по граням стыкующихся суперэлементов соблюдаются полностью.