ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

В большинстве случаев расчетные схемы сложных сооружений строятся на основе дискретных моделей (метод сеток, МКЭ, классические методы строительной механики и т.д.), что позволяет свести задачу нахождения спектра критических сил и соответствующих форм потери устойчивости к решению алгебраической проблемы собственных значений (СЗ) и собственных векторов (СВ). При использовании метода перемещений или соответствующей формы МКЭ матричное уравнение устойчивости имеет вид [k-py]{z}=0, где k - матрица жесткости расчетной схемы сооружения; y - геометрическая матрица потенциала внешних сил; Р - искомый параметр критической нагрузки; z - соответствующая данному критическому параметру форма потери устойчивости. При исследовании больших систем, требуемое для достаточно полного их представления число неизвестных может составить порядка 10 ⁴-10 ⁵. Решение полной проблемы СЗ и СВ для таких моделей, даже при использовании современных ЭВМ, становится неэффективным или вообще невозможным.

Для преодоления указанного затруднения предлагается использовать редукцию (понижение) порядка матричного уравнения с помощью одного из следующих вариантов метода последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК), предложенных проф. В.А. Игнатьевым: последовательная ЧДК с использованием СЗ и СВ парциальных систем; энергетический вариант метода последовательной ЧДК. Для первого из указанных вариантов метода разработан также алгоритм, использующий вместо матрицы жесткости матрицу податливости всей системы А. Уравнение устойчивости в этом случае имеет вид [ay-1/p]{z}=0. Применение такой формы записи может быть полезно в случае уже подготовленных исходных данных с ориентацией на использование итерационного метода нахождения старшего собственного числа, требующего приведения проблемы собственных значений к стандартному виду. В этом случае, при возникновении трудностей при работе с исходной характеристической матрицей, либо при необходимости определения нескольких следующих СЗ, можно сразу получить необходимые результаты по аналогичному алгоритму, избегая повторения трудоемкого процесса формирования исходных матриц.

Все предлагаемые методы относятся к классу редукционных методов, понижающих порядок исходного матричного уравнения за счет исключения из него большей части неизвестных, называемых второстепенными, и изменении матриц при оставшихся (основных) неизвестных так, чтобы собственные числа исходных и редуцированных матриц в интересующем диапазоне наименьших критических сил были наиболее близки. Таким образом, основная идея редукционного подхода заключается в том, что задача нахождения собственных чисел исходного уравнения сводится к решению проблемы собственных значений для матриц существенно меньшего порядка, что уже не так трудоемко, и поэтому легко решается любым стандартным методом. При понижении порядка часть информации о свойствах системы неизбежно теряется, что вызывает отклонение получаемых величин критических сил от действительных собственных чисел исходного матричного уравнения. Величины этих отклонений, или погрешность получаемых результатов, зависит, главным образом, от свойств примененного редукционного алгоритма. Известным на сегодняшний день редукционным методам присущ ряд недостатков, существенно ограничивающих возможности их применения. Метод статической конденсации, широко используемый из-за его предельной простоты, приводит к получению большой погрешности результатов вследствие игнорирования энергетических свойств исключаемых неизвестных. Метод динамической конденсации, благодаря механизму учета второстепенных собственных форм, обеспечивает получение результатов с более высокой точностью, однако обладает сложным алгоритмом, затрудняющим его применение при высоком порядке решаемой задачи. Метод частотно-динамической конденсации по двум базовым числам требует предварительного задания диапазона значений искомых величин критических сил, что сильно снижает удобство его использования и порождает погрешность результатов при неверном задании границ диапазона. Общим недостатком алгоритма всех вышеназванных методов является использование операции обращения блока второстепенных неизвестных, что при его высоком порядке в случае решения больших задач весьма проблематично. Использование предложенного проф. В.А. Игнатьевым подхода, основанного на разделении второстепенных неизвестных на ряд блоков и последовательном их исключении, позволяет устранить влияние этого негативного фактора и существенно увеличить возможности всех данных методов.

Предлагаемые варианты метода последовательной частотно-динамической конденсации обладают простым и эффективным алгоритмом, обеспечивают получение результатов с высокой степенью точности, не требуя при этом предварительного задания приближенных значений искомых параметров. Последовательное исключение второстепенных неизвестных является для этих методов обязательным требованием, так как на каждом этапе исключения решается проблема СЗ и СВ для так называемых парциальных матриц, составленных из блока основных и одного из блоков второстепенных неизвестных. Таким образом, с математической точки зрения сущность метода заключается в эквивалентной замене исходной проблемы СЗ высокого порядка последовательным решением ряда таких задач значительно меньшего порядка. Такой подход существенно сокращает суммарный объем вычислений, что позволяет эффективно решать задачи устойчивости больших систем, задавая размерность схем с позиций практической необходимости, не взирая на мощность используемой ЭВМ. Энергетический вариант метода ЧДК, основывающийся также на гипотезе об эквивалентности величин потенциальной энергии деформации и потенциала внешней нагрузки редуцированной и исходной систем, обладает по сравнению с вариантом ЧДК с использованием СЗ и СВ немного более сложным алгоритмом, обеспечивающим получение СЗ и СВ с еще более высокой точностью.

Как показали многочисленные тестовые расчеты различных стержневых систем, пластинок и их комбинаций величина погрешности, порождаемой применением предлагаемых методов, зависит от количества и мест расположения основных неизвестных. В зависимости от сложности решаемой задачи рекомендуется оставлять в качестве основных неизвестных порядка 15-30% от общего числа, а места их расположения следует выбирать так, чтобы полные формы потери устойчивости могли быть наилучшим образом заданы через одни эти неизвестные. При соблюдении этих требований величина получаемой погрешности определения младших критических сил не превышает величины от долей процента до нескольких процентов, тогда как использование для расчетов по той же схеме всех прочих редукционных методов приводит к получению большей величины погрешности. Для сравнения, расчеты по одним и тем же схемам с использованием метода статической конденсации порождают погрешность в 5-10 раз большую, чем при использовании предлагаемых вариантов метода последовательной ЧДК.