ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Результат выполнения научно-исследовательской разработки.

Математическая модель свободных крутильных колебаний приведенного вала в матричной форме имеет вид:

А · q + С · q = 0, (1)

гдеq- матрица ускорений;q- матрица перемещений; А - матрица коэффициентов инерции; С - матрица коэффициентов жесткости.

Для системы сnстепенями свободы матрицы С и А имеют размерnхn. Уравнение (1) приводится к виду:

q + К · q = 0, (2)

где К = А ^-1· С .Задача определения частот свободных колебаний сводится к определению собственных значенийl_i= 1, 2, … ,nматрицы К. Величины к_i=l_iявляются частотами свободных крутильных колебаний механической системы. Для определения частот свободных крутильных колебаний валов применяется ПЭВМibm. Вычисления производятся в системеmathcad, используемой для математического моделирования в инженерных расчетах.

Уравнение для нахождения собственных значенийlматрицы К:

det (k -le)= 0, (3)

где Е - единичная матрица.

Для нахождения начальных приближений собственных значений построим график функцииf (l) = det (k -le).Ориентировочные значенияl, при которыхf (l)= 0, вначале определяются по графику, а затем уточняются с помощью функцииminner, которая используется в системеmathcadдля поиска корней уравнения.

Ниже приведен примерmathcad- документа, составленного для определения частот свободных крутильных колебаний узла фрезерования фрезерно-брусующего станка.

mathcad- документ определения частот свободных

крутильных колебаний

Матрица коэффициентов инерции

Матрица коэффициентов жесткости

Размерность матрицn: = 4.

Строятся отдельные участки графика функцииf (l), чтобы найти начальные приближения собственных чисел.

f (la): = |k - la · identity(n)| , la : = 100, 200 . . 1000

Точность вычисленийtol: = 0,00001

1е+018

f (la), 0

-2е+018

100 1а 1000

Первое начальное приближение дляl, исходящее из графика:la : = 200.

Вычисление первого корня уравненияf(l)=0:

given f (la) 0 la > 100 la < 400

laval:= minner(la); laval = 301.495; k:= laval; k = 17.364 -первая частота.

la : = 6000, 6500 . . 1000

4е + 018

f (la), 0

-3е + 018

6000 1а 10000

la : = 8500

given f (la) 0 la > 7000 la < 10000

laval:= minner(la) k:= laval; k = 91.034 -вторая частота.

la : = 100000, 200000 . . 1000000

1е + 024

f (la), 0

-2е + 024

100000 1а 1000000

la : = 400000

given f (la) 0 la > 10 ⁵ la < 5 · 10 ⁵

laval:= minner(la) k:= laval; k = 327.933 -третьячастота

la : = 2000000, 3000000 . . 6000000

9е + 026

f (la), 0

-1е + 026

2000000 1а 6000000

la : = 2000000

given f (la) 0 la > 10 ⁵ la < 10 ⁷

laval:= minner(la); k:= laval; k = 1.478 · 10 ³ -четвертаячастота.

Таким образом частоты свободных крутильных колебаний фрезерного узла фрезерно-брусующего станка имеют следующие значения:

к ₁=17с ^-1; к ₂=91с ^-1; к ₃=328 с ^-1; к ₄=1478 с ^-1;

По приведенной методике определяются частоты свободных крутильных колебаний механизмов резания и подачи деревообрабатывающего оборудования.