ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

В настоящее время широко распространена классическая теория пластинок на основе гипотез Кирхгофа. Однако этой теории недостаточно для исследования пластинок из материала с малой сдвиговой жесткостью. В работе предлагается учитывать деформацию поперечного сдвига при расчете таких пластинок на устойчивость. Прямоугольная сетчатая пластинка образована из стержней четырех направлений, определяемых углами между осью стержня и координатной осью ОХ.

j₁ = j₂ = j; j₃ = p/2; j₄ = 0.

Рассмотрен случай действия сжимающих сил двух направлений, приложенных к срединной плоскости пластинки. Переход к континуальной расчетной схеме осуществляется с использованием теории сетчатых пластинок Г.И. Пшеничнова. Жесткость стержней на кручение не учитывается. Использованы статические и геометрические уравнения изгиба пластинки и сдвиговая модель С.П. Тимошенко. Получены уравнения состояния расчетной модели для четырех направлений стержней. Величина фиктивной поперечной нагрузки, входящей в статические уравнения, принята равной:

z = - (n ₁·(¶²w/¶x ²)+2s·(¶²w/¶x¶y)+n ₂·(¶²w/¶y ²) (1)

Погонные усилия можно выразить через внешние сжимающие силы:

n ₁=-Р; n ₂=-ayp; s=0. (2)

Статические, геометрические и уравнения состояния приводятся к системе трех дифференциальных уравнений в перемещениях относительно неизвестных: нормального перемещения w и углов поворота отрезка нормали к срединной плоскости пластинки q ₁, q ₂ в плоскостях y=const и x=const соотвественно.

l ₁₁(w)+l ₁₂(q ₁)+l ₁₃(q ₂)-z=0

l ₂₁(w)+l ₂₂(q ₁)+l ₂₃(q ₂)=0 (3)

l ₃₁(w)+l ₃₂(q ₁)+l ₃₃(q ₂)=0

Рассмотрена пластинка с шарнирно опертым контуром:

w=q ₂=m ₁=0 при x=0,l

w=q ₁=m ₂=0 при y=0,b,

Где l и b размеры пластинки в плане. Перемещение и углы поворота в этом случае представляются в виде двойных тригонометрических рядов. Преобразовывая уравнения (3), получают однородную систему линейных алгебраических уравнений с коэффициентами ay при неизвестных w, q ₁, q ₂. Для нахождения критической силы, соответствующей потере сетчатой пластинкой устойчивости, приравнивают нулю определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений. В результате получают формулу для определения критической силы:

pmn=[a ₁₁+(2a ₁₂a ₂₃a ₁₃-a ₃₃a ₁₂²-a ₂₂a ₁₃²) / (a ₂₂a ₃₃-a ₂₃²)] / a** (5)

Уравнение (5) позволяет определить не только минимальную критическую силу, но и решить целый класс оптимизационных задач: исследовать возможность повышения минимальной критической силы путем выбора типа сетки, оптимального угла y, а также перераспределением массы материала по стержням различных направлений при различных соотношениях сторон пластины. В качестве примера рассмотрено решение задачи для сетчатой пластинки с треугольной сеткой при следующих параметрах: Е=2·10 ¹¹ Па; m=0,3; l=b=10 м; j=45°; а _y=1; j=14,569·10 ^-15 м, a _y=1.207 м. Найдено значение критической силы Р=455.024 кН/м.