ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

При расчете сложных конструкций на колебания и устойчивость по дискретной расчетной схеме одной из важнейших задач является точное определение всего спектра частот свободных колебаний систем (собственных значений) и соответствующих им форм колебаний (собственных векторов). Система разрешающих уравнений в таких задачах записывается в матричной форме: матрица податливости системы; диагональная матрица масс системы; вектор амплитуд колебаний масс системы; единичная матрица (диагональная). Такая система имеет нетривиальное решение только тогда, когда равен нулю главный определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений. Раскрытие этого уравнения приводит к так называемому характеристическому (или вековому) уравнению, представляющему собой алгебраическое уравнение степени m.

Однако в такой постановке решение подобных систем (полная проблема собственных значений и собственных векторов) связано с раскрытием определителей высокого порядка с одной стороны, и решением характеристических уравнений высокой степени с другой, что возможно только при условии использования ЭВМ. Но и в этом случае возникают трудности, вызываемые нехваткой памяти и значительными затратами машинного времени. Для систем с бесконечным числом степеней свободы определение спектра частот сводится к трудоемкому процессу решения на ЭВМ трансцендентных уравнений с использованием итерационных методов. При расчете сооружений на резонанс инженеров, прежде всего, интересует значение основной (низшей) частоты или нескольких низших частот спектра собственных колебаний системы. Именно при совпадении частоты вибрационной нагрузки с одной из низших частот собственных колебаний в сооружении возникают наибольшие инерционные силы и деформации. Для вычисления ограниченного количества первых чстот собственных колебаний сложных систем в настоящее время используется большое количество приближенных методов. В общем случае расчет включает два основных этапа: уменьшение (редуцирование) числа степеней свободы сложных систем и применение наиболее рациональных в том или ином случае численных методов решения неполной проблемы собственных векторов и собственных значений.

На первом этапе применяются так называемые редукционные (конденсационные) методы, которые разделяются на две группы. К первой группе относятся методы, в которых редукция выполняется на физическом уровне без составления уравнений непосредственно для системы со многими степенями свободы или с конечным числом степеней свободы: энергетические методы (приведенных масс, Рэлея, Рэлея-Ритца); Бубнова-Галеркина; конечных разностей; конечных элементов. К второй группе относятся методы, в которых редукция (конденсация) выполняется на математическом уровне после составления уравнений для системы со многими степенями свободы: метод статической конденсации; различные варианты метода динамической конденсации; методы частотно-динамической конденсации.