ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Кпд полиспаста принято выражать через кпд неподвижного блока[1]:

h_П=(1 -h^u) : (1 -h)u , (1)

гдеh_П- значение кпд полиспаста, соответствующее подъему груза в силовых полиспастах;u - кратностьполиспаста;h- кпд одного неподвижного блока, значения которого принимают по известным рекомендациям в пределах 0,94…0,98 в зависимости от вида трения в опоре блока и условий эксплуатации.

В настоящей работе показано, что в практических расчетах вместо формулы (1) можно использовать упрощенную формулу, в которую исходные величины входят в первой степени.

Рассмотрим смысл предлагаемых упрощений. Схема одинарного полиспаста представлена на рис. 1, где приняты обозначения:g - силатяжести поднимаемого груза;u- количество параллельных ветвей каната, определяющее отношение скоростей ходовой ветви канатаv₁и обоймы подвижных блоковv _g;s _i - силынатяжения ветвей каната, приi= 1, 2,...,u.

В условиях равномерного подъема груза кпд полиспаста предлагается определить как отношение мгновенных мощностей:

h_П=h_1-g=p _g : p ₁ = -gv _g : s ₁v ₁ = (- g : s ₁)/u,(2)

гдеp _gиp₁- мощности сил на ведомом и ведущем звеньях полиспаста соответственно;u=v₁/v _g- кратность полиспаста;h_1-g- обозначение кпд полиспаста с указанием направления потока энергии (от ветви 1 к обоймеg); произведение «сила-скорость» считается положительным для ведущего звена.

Отношение сил (-g/s ₁)в формуле (2) выражаем как обычно, через кпд неподвижных блоков:

s ₁ + s ₂ + … s _u + g = 0;

s ₁ (1 + s ₂/s ₁ + s ₃/s ₁ + … + s _u/s ₁) = -g, (3)

используя известные соотношения между силамиsi[1]:

s ₂:s ₁=h; s ₃:s ₂=h; s ₃:s ₁=h²; … s _u:s _u-1=h; s _u:s ₁=h^u-1. (4)

Произведя подстановку (4) в (3), получаем:

-g/s ₁ = 1 +h+h²+ … +h^u-1= (1 -h^u)/(1 -h), (5)

где записана формула суммы членов геометрической прогрессии, подстановка которой в формулу(2) приводит к известной формуле кпд(1).

Выражения (2) и (5) показывают, что упрощение формулы кпд полиспаста может быть достигнуто заменой точного выражения для отношения сил (5) приближенным выражением.

С этой целью геометрическую прогрессию (5) запишем через коэффициентyпотерь неподвижного блока подстановкойh= 1 -y:

-g/s ₁ = 1 +(1 -y)+(1 -y)²+ … +(1 -y)^u-1. (6)

Так как величинаyнамного меньше единицы, то каждое из слагаемых формулы (6) можно представить приближенным выражением, известным в теории приближенных вычислений[2]:

(1 -y) ^k»1 - ky,приk =0,1,2,…,u-1(7)

где степени величиныyвыше первой не учитываются ввиду их более высокого порядка малости.

С учетом (7) выражение (6) принимает вид:

-g/s ₁»1 + (1 -y) + (1 - 2y) + . . . + (1 - (u - 1)y),(8)

где коэффициенты приyобразуют арифметическую прогрессию - натуральный ряд чисел.

Записывая сумму членов арифметической прогрессии

-y- 2y- … -(u - 1)y= -(1 + u - 1) (u - 1):2y= -u (u - 1):2y,

придадим отношению сил (8) форму

-g/s ₁»u (1 - (u - 1):2)y)(9)

После подстановки (9) в формулу кпд (2) получаем упрощенную формулу:

h_1-g»1 - (u - 1):2y=1 -y_1-g,(10)

которая дает точные значения при = 1; 2.

Величинаy_1-gпредставляет собой приближенную оценку коэффициента потерь энергии для полиспаста в целом

y_1-g»(u - 1)y/2.(11)

Следует обратить внимание на то, что приu= 2 формула (11) дает точное значение коэффициента потерь одного подвижного блока -y/2. Поэтому формулу (11) можно рассматривать как суммарную оценку потерь энергии на блоках в предположении, что все блоки полиспаста (u-1) являются подвижными.

При изменении направления движения изменится и кпд полиспаста, так как отношения сил (4) изменяются на обратные; формула кпд полиспаста принимает вид:

h_g-1= (h^u-1(1 -h)) : (1 -h^u) u ,(12)

где в обозначении кпд указано направление потока энергии (от обоймыgк ходовой ветви 1).

Сравнивая формулы (1) и (2), устанавливаем взаимосвязь между значениями кпд полиспаста в зависимости от направления движения:

h_1-gh_g-1=h^u-1,(13)

где показатель степени (u - 1) представляет собой суммарное число блоков в структуре полиспаста.

В таблице представлены численные значения погрешностей приближенной формулы (10) по сравнению с точными формулами (1) и (12): диапазон кратностей полиспастовu=2…12 охватывает практические значения этого параметра от простейших грузоподъемных талей до буровых установок нефтегазовых промыслов. Диапазону кпд неподвижного блокаh= 0,94…0,98 соответствует диапазон коэффициента потерьy= 0,06…0,02.

Погрешности, рассчитанные в процентах, показаны с их знаками: в числителе - для формулы (1); в знаменателе - для формулы (12).

Погрешность упрощенной формулы кпд полиспаста, %

Анализ табличных данных показывает, что упрощенная формула кпд (10) может быть однозначно рекомендована для полиспастов приuЈ6, когда погрешности практически не превышают одного процента.

Максимальные погрешности составляют 3…5%, поэтому упрощенная формула не может быть рекомендована для общего применения в полиспастах приu >6.